입실론-델타의 이해

Posted by 0xrgb
2016.03.19 20:43 수학

개요

고등학교까지 극한 문제를 술술 풀어오던 당신! 머학교에 들어오자 이상한 문장을 하나 보게 된다.

Let $f$ be a real valued function defined on a neighborhood of $a$. If for any $\epsilon > 0$, there is $\delta > 0$ such that $\left | f(x)-L \right | < \epsilon$ whenever $0 < \left | x-a \right | < \delta$, we say $f(x)$ converges to $L$ at a and denote it by $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$. 1

정상적인 학생이라면 “응 미적분학 안 해”, 이런 말이 자동으로 나오게 된다.

그런 학생들을 위해 이 글을 준비했다! 이걸 다 읽게 되면 당신은 입실론-델타의 전문가로 변해 있을 것이다.

이해

미적분학이 처음 나왔을 때, 극한은 이렇게 생겼었다.

If $x \to a$, $f(x) \to L$, we say $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$.

문제는 저 $\to$인데, 가까이 간다는 게 수학적으로 무슨 뜻인지 분쟁이 많았다.

그런데 생각해보자, $x$가 $a$ 가까이 있다는 말은(그리고 $x \neq a$), 이건 마치 적당한 $\delta>0$이 있어서,
$a-\delta < x < a+\delta$, $x \neq a$ 이라는 것과 비슷하지 않을까? 이걸 좀 더 세련되게 쓰자면,

$$ 0 < \left | x - a \right | < \delta $$

마찬가지로 적당한 $\epsilon > 0$가 있어 $\left | f(x) - L \right | < \epsilon$ 이다.

즉, 직관적인 극한의 정의를 다시 수학적으로 쓴 게, 저 위에 있는 미적분학 책의 정의인 것이다.

저걸 좀 더 쉽게 말한다면 다음과 같다.

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ 이라는 것은, $\epsilon > 0$ 이 아무리 작아도 그에 해당하는 실수 $\delta > 0$ 가 존재하여, $x$와 $a$의 거리가 $\delta$보다 작으면(하지만 $x = a$는 아님), 항상 $f(x)$와 $L$의 거리가 $\epsilon$보다 작게 된다는 뜻이다. 2

이걸 그림으로 그리면 다음과 같다. 3

증명

이제 극한 문제를 풀어보자.

$$ \forall a \in \mathbb{R}, ~ \lim\limits_{x \to a} x = a $$

예전이었다면 당연하다고 넘어갔을 것 같은 수식도, 미적분학을 듣는 우리는 입실론-델타로 증명해야 한다.

주어진 $\epsilon > 0$ 에 대해서, $\delta = \epsilon$ 이라고 하자.
$0 < \left | x - a \right | < \delta$ 일 때, $\left | f(x)-L \right | = \left | x - a \right | < \delta = \epsilon$ 이므로 $\left (\because f(x) = x, L = a \right )$

입실론-델타 논법에 의해, $\lim\limits_{x \to a} x = a$

핵심은, 위 문제의 $\delta = \epsilon$ 처럼 $\epsilon$에 따른 적절한 $\delta$를 찾아주는 것이다.
아래 문제를 보며 적절한 $\delta$ 잡기의 중요성을 알아보자.


$$ \lim\limits_{x \to 5} x^2 = 25 $$

주어진 $\epsilon > 0$ 에 대해서, $\delta = \min \left ( \frac{\epsilon}{11}, 1 \right )$ 이라고 하자.
$0 < \left | x - 5 \right | < \delta$ 일 때, $4 < x < 6$ 이고 $\left ( \because \delta \le 1 \right )$

$$ \begin{align}
\left | x^2 - 25 \right |
&= \left | x + 5 \right | \cdot \left | x - 5 \right | \\
&< 11 \cdot \left | x - 5 \right | ~ \left ( \because \left | x + 5 \right | < 11 \right ) \\
&< 11 \cdot \delta \\
&\le \epsilon ~ \left ( \because \delta \le \frac{\epsilon}{11} \right )
\end{align} $$

입실론-델타 논법에 의해, $\lim\limits_{x \to 5} x^2 = 25$

여기서 핵심은 $\delta = \min \left ( \frac{\epsilon}{11}, 1 \right )$ 이다.
이는 $\delta \le \frac{\epsilon}{11}$ 이면서 $\delta \le 1$ 이어야 하기 때문이다.

이러한 min을 이용한 기법은 여러 문제에 사용되니 꼭 이해하도록 하자.

연습문제

시험을 잘 보려면 연습을 해야겠죠?

  1. $\lim\limits_{x \to 0} \left | x \right | = 0$
  2. $\lim\limits_{x \to 2} \frac{2}{x} = 1$
  3. $\lim\limits_{x \to 4} \sqrt{x} = 2$
  4. $\lim\limits_{x \to \pi} \sin x = 0$

풀이 보기

보면 좋은 문서

  1. 입실론 델타의 정석
  2. 입실론 델타의 적절한 비유

Reference

이 댓글을 비밀 댓글로